Vincent GODARD

Département de Géographie

Université de Paris 8

V.2.9- Dernière mise à jour : 29/11/2022

Fiche Mémo n°2 d'analyse de données pour le Master 2 :

L'analyse en composantes principales (ACP)

Note : ce cours d'analyse de données multivariées doit beaucoup à l'ouvrage de Lena Sanders, maintenant épuisé (sauf en bibliothèques, mais téléchargeable ici). Qu'elle en soit ici remerciée pour sa contribution (involontaire ;-) !).

1. Principes

1.1. Contexte

- caractères quantitatifs

Qui peuvent être exprimés simultanément :

- dans la même unité (% ou surfaces, ...) ;

- dans différentes unités (% et surfaces, ...) ;

Regroupés dans un tableau de mesures*

Le tableau de mesures est constitué de :

- n individus statistiques ;

qui peuvent être des unités spatiales (tableau de données = tableau d'information géographique)

- p variables quantitatives.

1.2. Objectifs

Comme les autres analyses factorielles, l'ACP va surtout s'intéresser à l'étude des colonnes (variables) du tableau d'information pour confronter les différentes distributions et permettre :

- de découvrir des irrégularités dans ces distributions ;

- d'analyser des interrelations entre les variables ;

- de mettre en évidence des combinaisons plus ou moins systématiques entre les variables ;

En bref, de dégager les composantes sous-jacentes qui structurent l'espace géographique étudié.

Cela passe par une simplification de l'information d'origine

1.3. Les différentes phases d'une ACP

Les calculs, qui relèvent de la distance euclidienne*, tiennent en trois phases :

- Constitution d'une matrice d'information (spatiale ou non)

- Les "n" individus doivent former un ensemble cohérent

pas d'individus exceptionnels

- Les "p" variables peuvent être hétérogènes

- en valeurs absolues ;

- en valeurs relatives ;

- dans des unités de mesures différentes, ...

- Transformation des données d'origine

- par simple centrage* des données

mais, il faut que toutes les données aient la même unité

la matrice d'information devient :

=> une matrice des covariances* entre variables

- par centrage et réduction* des données (standardisation*)

la matrice d'information devient :

=> une matrice des corrélations* entre variables

- Qu'est-ce que le centrage et la réduction ?

A partir d'un exemple.

Exemple n°1 : Tableau 2.1a - Dix mesures relatives à la qualité de la vie dans 18 grandes métropoles américaines (Sources : M.V. JONES and M.J. FLEX, The quality of life in Washington D.C., The Urban Institute, Washington D.C, 1970. in SANDERS 1989, p. 57)

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Ce fichier est au format EXCEL 2016 et "pèse" 10 Ko.

En général, on réalise des ACP normée*. Cela signifie que :

- les variables sont standardisées ;

- la projection utilisée est orthogonale ;

- le critère d'ajustement est celui des moindres carrés*.

Alors, la matrice de relations (dite matrice d'inertie*), ex matrice d'information, est devenue :

- une matrice des corrélations* entre variables

- C'est une matrice carrée d'ordre "p" ("p" lignes sur "p" colonnes)

avec une diagonale qui vaut 1

- Que faire lorsque les données ne sont pas distribuées normalement ? 

La littérature propose un autre type de transformation qui consiste à essayer de "normaliser" la distribution pour qu'elle se rapproche d'une distribution normale :

ftp://ftp.unice.fr/users/francour/Cours_Stat_6.pdf

http://www.fao.org/docrep/003/x6831f/X6831f08.htm

http://statistiques.forumpro.fr/t3283-transformation-de-donnees-pour-avoir-une-loi-normale

http://biol09.biol.umontreal.ca/bio2042/Marie/laius_4.pdf

http://biol09.biol.umontreal.ca/bio2042/Transf_donn.pdf

Un développement avec graphique explicatif est proposé ici (il s'appuie sur un passage du cours de cartographie de L2) : Transformations de variables.

Il précise l'effet sur une distribution lorsque celle-ci comporte une asymétrie droite ou gauche, en fonction des fonctions de transformation (logarithme ou puissance avec un exposant <1 ou >1 par exemple).

Faut-il encore s'être assuré de la non normalité des variables !

Deux coefficients servent de "juges de paix" pour évaluer cette non normalité :

• le coefficient d'asymétrie de Fisher (aussi appelé Skewness) ;
• le coefficient d'aplatissement de Pearson (aussi appelé Kurtosis).

Cette transformation n'est pas systématique ou obligatoire, elle dépend des écoles !

- Dans leur paquet (package) Factominer sur l'ACP, François Husson, Julie Josse, Sébastien Lê et J. Mazet (qui font référence !) n'évoquent pas de transformations des données, ni le problème de la non normalité de la distribution !

- Dans son blog R-atique, Lise Vaudor, qui reprend l'exemple des résultats pour différentes épreuves du Décathlon développé ci-dessus par François Husson et al., n'évoque pas non plus le contrôle de la normalité des distributions avant de réaliser une ACP !

Donc sentez vous libre. Expérimentez !

 

- Recherche des axes factoriels*

Cette recherche se fait sur la matrice d'inertie

- Chaque axe factoriel est défini par un vecteur dit

vecteur propre* (eigenvectors)

Ils définissent les différentes directions du nuage d'information

- La part d'information prise par chaque vecteur propre est appelée

valeur propre* (eigenvalues)

Elle définie la hiérarchie de l'axe factoriel.

Un exemple des combinaisons linéaires caractéristique de l'ACP est proposé dans le cours de télédétection, accessible ici, et de calcul des équations de transformation à partir des vecteurs propres est donné ici.

1.4. Les résultats d'une ACP

Ils sont de quatre types pour chaque axe factoriel :

- part d'information totale prise en compte par l'axe ;

- valeur propre = part de variance (d'information) du nuage prise en compte par l'axe

- généralement exprimée en pourcentage

on parle indifféremment de pourcentages :

- d'inertie

- d'information

- de variance

Les trois résultats suivants sont différents selon que l'on s'intéresse aux variables ou aux individus.

1.4.1. Les résultats sur les sorties relatives aux variables

Résultats en général symétriques à ceux des individus

- Les coordonnées (ou saturation, loadings) des variables sur les axes factoriels :

- sont le coefficient de corrélation entre la variable et cet axe ;

- varient entre +1 et -1 (+ 1 000 et - 1 000 selon les logiciels) ;

- peuvent être toutes du même côté (axe d'intensité).

 

- Les contributions (CTR) des variables aux axes factoriels :

- mesurent le rôle relatif de chaque variable dans la construction (la caractérisation) de l'axe factoriel

Elles permettent de repérer quelles sont les variables les plus contributives par axe

- la somme des contributions vaut 1

- généralement exprimée en pour cent ou pour mille

Elles permettent :

- d'identifier les variables qui définissent le mieux les axes ;

les plus contributives !

- d'isoler les variables qui ont un comportement exceptionnel (ou aberrant).

 

- La qualité (QLT ou Cos²) de représentation d'une variable sur un axe factoriel :

- est donnée par le carré de sa coordonnée sur cet axe ;

- mesure la part de la variable expliquée par l'axe ;

Additionner le carré de sa coordonnée pour deux axes, c'est obtenir la part de la variable expliquée sur ce plan factoriel.

1.4.2. Les résultats sur les sorties relatives aux individus

- Les coordonnées* (ou scores) des individus sur les axes factoriels :

- permettent de situer les individus le long des axes

- peuvent être positifs ou négatifs (marquent des oppositions).

 

- Les contributions* (CTR) des individus aux axes factoriels :

- indiquent comment les individus contribuent à la formation (la caractérisation) de l'axe factoriel

- la somme des contributions vaut 1

- généralement exprimée en pour cent ou pour mille

Elles permettent :

- d'identifier les individus qui définissent le mieux les axes

- d'isoler les individus qui ont un comportement exceptionnel (ou aberrant).

Ceux qui concentrent la moitié ou presque des contributions

 

- La qualité* (QLT ou Cos²) de représentation des individus sur les axes factoriels :

- permet de caractériser les individus par les axes

- mesure la part de l'écartement d'un individus au centre de gravité prise en compte par un axe

QLT = cos² (de l'angle entre le vecteur-individu et l'axe)

cos² (0°) = 1

=> individu sur l'axe

(description parfaite de l'individu par l'axe)

cos² (90°) = 0

=> individu perpendiculaire à l'axe

(description nulle de l'individu par l'axe)

- généralement exprimée en pour cent ou pour mille

Dans SPAD entre 0 et 1 !

Remarques :

- Les résultats ne sont affirmés que pour les valeurs ayant les plus fortes coordonnées

Plus on est proche du barycentre :

- plus les variables sont étrangères à la définition de l'axe ;

- moins les points sont concernés par l'opposition des variables ;

ou

- moins la qualité de leur représentation est bonne (ils sont loin du facteur)

- Scores et saturations ne sont pas exprimés dans les mêmes unités de mesure

Cependant les vecteurs-individus et vecteurs-variables ont la même direction

Par convention, on peut superposer sur les nuages de points, tracées sur les cartes factorielles, des flèches représentant chaque vecteur-variable.

Chaque flèche d'une longueur quelconque passe par le barycentre* (0;0) et les coordonnées du vecteur-variable.

2. Analyse d'un 1^er exemple

Exemple n°1 : Tableau 2.1a - Dix mesures relatives à la qualité de la vie dans 18 grandes métropoles américaines (Sources : M.V. JONES and M.J. FLEX, The quality of life in Washington D.C., The Urban Institute, Washington D.C, 1970. in SANDERS 1989, p. 57)

Téléchargement du fichier de données

Ce fichier est au format EXCEL 5.0 et "pèse" 97 Ko.

Téléchargement du script ACP_villeUS_v3.R

1. Affichage du résumé de ce script généré en R Markdown ACP_villeUS_v5.Rmd (en html)
2. Affichage du résumé de ce script généré en R Markdown  ACP_villeUS_v5_vg.Rmd (en .Rmd)
3. Affichage de l'aide à l'analyse Investigate(res.villeUS.pca) inclus dans le R Markdown ci-dessus (générée pour la v4).

2.1. Procédure

- Si ce n'est pas fait, pour importer les données et créer un nouveau projet avec un nouveau diagramme, se reporter à la fiche mémo mem01mas.htm.

Dans la fenêtre Diagramme :

- Après l'import du fichier texte délimité depuis la fenêtre Méthodes, insérer une première méthode

- Clic droit sur l'icône de "ta1fm02d" puis Ajouter méthode (ou Insérer)

- Choisir : Analyse factorielle / Composantes principales (ACP)

Valider avec OK

- Clic droit sur l'icône de la méthode + Paramètres ... (ou F4)

Onglet Variables

- Sélection des variables : Continues actives

=> toutes

Onglet Individus

- Choix des individus

=> tous

Onglet Pondération

=> Uniforme

Onglet Paramètres

- Paramètres de fonctionnement :

Analyse normée

Coordonnées conservées toutes

- Paramètres d'édition :

Matrice permutée selon F1 Non

Coordonnées éditées toutes

Résultats pour les individus tous

Nombre de décimales 2

- Fichier pour application tableur : Oui

- Cliquer sur Option

Résultats pour les individus Oui

- Valider avec OK

- Insertion d'une deuxième méthode

Toujours dans la fenêtre Diagramme :

- Clic droit sur l'icône de "ACP" puis Ajouter méthode (ou Insérer)

- Choisir : Analyse factorielle / Description des facteurs (DEFAC)

Valider avec OK

- Clic droit sur l'icône de la méthode + Paramètres ... (ou F4)

Onglet Commande de description

- Liste des axes à décrire : 1-6

- Avec les éléments :

Variables continues Actives seules

Individus Actifs seuls

- Fichier pour application tableur : Oui

- Cliquer sur Option

Résultats pour les individus Oui

- Valider avec OK

 

2.2. Analyse

2.2.1. Analyse des valeurs de la matrice des corrélations

- Où trouver la matrice des corrélations ?

- Simple clic sur le plan du rapport

- Listage de l'analyse en composantes principales

- Recherche de la matrice des corrélations

- Quelles sont les variables corrélées entre elles ?

- Quelle est l'intensité de la liaison ?

- Qu'est-ce que cela signifie ?

tab. 1 - Matrice des corrélations

	INCO	UNEM	LOWI	HCOS	MENT	INFM	SUIC	POLL	ROBB	TRAF
INCO	1
UNEM	0.11	1
LOWI	0.11	0.35	1
HCOS	-0.05	-0.12	-0.48	1
MENT	0.10	-0.18	-0.11	-0.06	1
INFM	-0.03	-0.15	0.07	-0.31	0.42	1
SUIC	0.45	0.64	0.49	-0.04	-0.18	-0.43	1
POLL	-0.03	0.13	-0.35	0.37	0.36	0.25	-0.16	1
ROBB	0.45	0.26	-0.07	0.05	0.56	0.15	0.19	0.33	1
TRAF	0.37	0.38	0.51	-0.51	-0.26	0.01	0.62	-0.54	0.05	1

- Il est parfois utile de faire un graphique pour voir les liens :

- opposition positif / négatif ;

- épaisseur variable du trait en fonction de l'intensité:

- trait épais quand

Coef. de cor. > 0,8

- trait fin quand

0,6 < Coef. de cor. < 0,8

- pas de liaisons dessinées en deçà (les limites sont données à titre d'exemple, les adapter au cas étudié)

 

- Il est également utile d'analyser la matrice des valeurs tests

Surtout pour les grands tableaux

tab. 2 - Matrice des valeurs tests

	INCO	UNEM	LOWI	HCOS	MENT	INFM	SUIC	POLL	ROBB	TRAF
INCO	99.99
UNEM	0.47	99.99
LOWI	0.47	1.57	99.99
HCOS	-0.22	-0.51	-2.24	99.99
MENT	0.44	-0.79	-0.46	-0.24	99.99
INFM	-0.12	-0.66	0.29	-1.36	1.91	99.99
SUIC	2.08	3.20	2.29	-0.17	-0.78	-1.94	99.99
POLL	-0.13	0.55	-1.57	1.63	1.58	1.09	-0.68	99.99
ROBB	2.05	1.13	-0.30	0.22	2.67	0.64	0.82	1.45	99.99
TRAF	1.63	1.68	2.41	-2.41	-1.12	0.04	3.10	-2.56	0.21	99.99

Elle permet :

- de tester la significativité des coefficients de corrélation

C'est un test statistique exprimé en nombre d'écart-types d'une loi normale (cf. aide de SPAD)

En clair :

- si la valeur lue est supérieure à 2, le coeff. est significatif avec un risque d'erreur de 5% ;

- plus la v-test est grande (en valeur absolue)

- plus la liaison entre variables est significative ;

- moins le hasard a de chance d'être responsable de celle-ci.

Pour plus de détails sur les tests, voir la fiche mémo les introduisant (cf. Annexe n°2 du cours d'enquête)

- de classer par ordre d'importance les liens entre les variables

- Quelles corrélations entre variables retenez-vous au seuil de 0,05 ?

Reproduire la matrice des corrélations dans EXCEL en coloriant les cellules qui satisfont aux conditions de la matrice des valeurs tests.

 

2.2.2. Analyse des valeurs propres

Pour savoir où trouver l'information

- Où trouver les valeurs propres ?

=> Copri 4

- Double clic sur le plan du rapport

- Listage de l'analyse en composantes principales

- Double clic sur Valeurs propres

On obtient cela :

fig. 2 - Matrice des valeurs propres

- La colonne VALEUR PROPRE indique l'inertie le long de chaque axe factoriel.

La somme est l'inertie globale du nuage et vaut 10 (le nombre de variables actives dans une ACP normée).

- La colonne POURCENT. exprime le pourcentage d'inertie porté par chaque axe.

- La colonne POURCENT. CUMULE donne le pourcentage cumulé d'inertie.

- Quelle est la répartition de la variance sur les facteurs ?

- 31 % de l'information du nuage de points est résumé par le premier axe !

- 80 % de l'information est sur les 4 premiers axes !

- Combien d'axes faut-il retenir ?

- il n'y a pas de réponses automatiques !

- si toutes les variables sont très corrélées, peu d'axes suffiront !

- les axes discriminants ne sont pas forcément les premiers !

2.2.3. Analyse des axes

Objectif : rechercher les associations de variables

Pour caractériser les facteurs

- Où trouver les informations sur les axes ?

- Analyse du plan du rapport :

Simple clic sur le plan du rapport

- Listage de l'analyse en composantes principales

- Double clic sur Coordonnées des variables de 1 à 5

- Quelles sont les variables qui qualifient chaque axe ?

- Où sont les Contributions et qualités ?

=> Copri 6

tab. 3 - Coordonnées, contributions et qualités des variables sur les cinq 1^er facteurs

VARIABLES	COORDONNÉES					CORRÉLATIONS VARIABLE-FACTEUR					ANCIENS AXES UNITAIRES
IDEN	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
INCO	-0.40	0.54	-0.14	0.58	-0.30	-0.40	0.54	-0.14	0.58	-0.30	-0.22	0.37	-0.11	0.57	-0.39
UNEM	-0.58	0.31	-0.33	-0.59	-0.09	-0.58	0.31	-0.33	-0.59	-0.09	-0.33	0.21	-0.25	-0.58	-0.11
LOWI	-0.72	0.00	0.32	-0.27	0.25	-0.72	0.00	0.32	-0.27	0.25	-0.41	0.00	0.24	-0.26	0.33
HCOS	0.48	0.00	-0.74	0.08	-0.02	0.48	0.00	-0.74	0.08	-0.02	0.27	0.00	-0.56	0.08	-0.03
MENT	0.36	0.70	0.33	0.08	0.43	0.36	0.70	0.33	0.08	0.43	0.21	0.48	0.25	0.08	0.56
INFM	0.25	0.36	0.74	-0.19	-0.37	0.25	0.36	0.74	-0.19	-0.37	0.14	0.25	0.56	-0.19	-0.48
SUIC	-0.81	0.24	-0.43	-0.04	0.10	-0.81	0.24	-0.43	-0.04	0.10	-0.46	0.16	-0.33	-0.04	0.13
POLL	0.54	0.53	-0.26	-0.43	-0.23	0.54	0.53	-0.26	-0.43	-0.23	0.30	0.37	-0.20	-0.43	-0.29
ROBB	-0.02	0.88	-0.10	0.13	0.13	-0.02	0.88	-0.10	0.13	0.13	-0.01	0.61	-0.07	0.13	0.17
TRAF	-0.87	0.04	0.21	0.14	-0.19	-0.87	0.04	0.21	0.14	-0.19	-0.49	0.02	0.16	0.14	-0.24

Interprétation :

- La colonne COORDONNÉES donne la projection des variables sur les 5 premiers axes factoriels.

On peut constater qu'elles sont toutes positives sur l'axe 2.

- le nuage est décentré ;

- c'est un axe d'intensité (facteur de taille).

- La colonne CORRÉLATIONS VARIABLE-FACTEUR permet d'apprécier la qualité du positionnement des variables sur les 5 premiers axes factoriels.

mais dans SPAD les CORRÉLATIONS VARIABLE-FACTEUR ne sont pas élevées au carré, il faut le faire dans Excel !

- En ACP normée, les Cos² coïncident avec le carré des coordonnées des variables ;

- Quand la valeur d'un Cos² est-elle élevée ?

Là non plus, la réponse n'est pas automatique,

Pour déterminer les variables bien représentés, il faut comparer les sommes des Cos² plan par plan.

- sur le 1^er plan, axe 1 et 2, INCO est mieux représentée que HCOS

INCO => 0,94 = | -0,40 + 0,54 |

mais plus logiquement : INCO => 0,44 = -0,40² + 0,54²

HCOS => 0,48 = | 0,48 + 0,00 |

mais plus logiquement : HCOS => 0,23 = 0,48² + 0,00²

- HCOS est mieux représenté sur l'axe 3 (-0,74).

La somme du Cos² atteint 1 dans le meilleur des cas.

- La colonne CONTRIBUTION donne la contribution des variables à l'inertie portée sur les 5 premiers axes factoriels.

- sert à détecter les variables qui contribuent le plus à la formation des axes ;

- la contribution est :

CTR = (ANCIENS AXES UNITAIRES)²

La somme des contributions est égale à 1 (ou 100 en pourcentage).

Pour s'y retrouver, il vaut mieux calculer les contributions et les qualités sur le fichier tableur.

- double clic sur l'icône Excel de la filière ;

ou

- télécharger ce même fichier mais "préparé"

Exemple n°1 : Tableau 2.1b - Dix mesures relatives à la qualité de la vie dans 18 grandes métropoles américaines (Sources : M.V. JONES and M.J. FLEX, The quality of life in Washington D.C., The Urban Institute, Washington D.C, 1970. in SANDERS 1989, p. 57)

Téléchargement du fichier de résultats

Ce fichier est au format EXCEL 98 et "pèse" 55 Ko.

Voir les :

- Matrice des corrélations en COPRI-2 ;

- en rouge les corrélations > 50 %

- en bleu les corrélations < - 50 %

- Matrice des valeurs-tests en COPRI-3 ;

- en rouge les corrélations > 2

- en bleu les corrélations < - 2

- Valeurs propres en COPRI-4 ;

- Coordonnées, COS² et CTR des variables en COPRI-6 ;

Complétez les tableaux !

- Coordonnées, COS² et CTR des individus en COPRI-9 ;

Complétez les tableaux !

- Analyse graphique d'un plan factoriel :

Double clic sur le graphique

- Présélections pour un nouveau graphique : variables continues actives

Valider par OK

- Menu Sélection + De tous les points

- Menu Habillage + Ecrire les libellés

On obtient cela :

fig. 3 - 1^er plan factoriel

- Menu Habillage + Informations sur les points

- Cliquer sur chaque pointe de flèches

- Noter les CTR, avec les signes des coordonnées, dans une fenêtre EXCEL !

C'est plus simple pour les individus !

Interprétation :

- 2 variables proches forment un angle aigu.

cela correspond à un Coefficient de corrélation positif élevé (UNEM et SUIC, r = +0,64) ;

- 2 variables avec un fort Coefficient de corrélation négatif

sont diamétralement opposées (HCOS et LOWI, r = -0,49) ;

- 2 variables indépendantes auront un Coefficient de corrélation nul

et formeront un angle droit (TRAF et INFM, r = +0,01) ;

- toutes les variables sont positives sur l'axe 2

le nuage des variables n'est pas centré !

 

2.2.4. Analyse des individus

Pour caractériser les groupes d'individus

2.2.4.1. Par l'analyse du plan du rapport

- Simple clic sur le plan du rapport

- Listage de l'analyse en composantes principales

- Double clic sur Coordonnées, contributions et cosinus

- Quels sont les individus qui qualifient chaque axe ?

tab. 4 - Coordonnées, contributions et qualités des individus sur les cinq 1^er facteurs

INDIVIDUS			COORDONNÉES					CONTRIBUTIONS					COSINUS CARRES
IDENTIFICATEUR	P.REL	DISTO	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
New York	5.56	14.76	2.27	2.56	-0.55	0.12	0.41	9.1	17.3	1.0	0.1	1.5	0.35	0.45	0.02	0.00	0.01
Los Angeles	5.56	17.27	-3.32	1.43	-1.61	-0.64	-0.20	19.5	5.4	8.3	2.2	0.4	0.64	0.12	0.15	0.02	0.00
Chicago	5.56	9.12	1.78	1.88	0.17	0.57	-1.07	5.6	9.3	0.1	1.8	10.6	0.35	0.39	0.00	0.04	0.13
Philadelphie	5.56	6.57	1.05	0.49	1.59	-0.98	-0.44	2.0	0.6	8.1	5.2	1.8	0.17	0.04	0.39	0.15	0.03
Détroit	5.56	5.37	0.07	1.45	-0.01	0.32	-1.11	0.0	5.5	0.0	0.6	11.3	0.00	0.39	0.00	0.02	0.23
Boston	5.56	12.64	2.51	-1.43	-1.84	0.54	0.10	11.2	5.4	10.8	1.6	0.1	0.50	0.16	0.27	0.02	0.00
San Francisco	5.56	24.04	-4.07	1.09	-2.24	0.30	0.53	29.3	3.1	16.1	0.5	2.6	0.69	0.05	0.21	0.00	0.01
Washington D.C.	5.56	10.47	1.78	1.32	0.00	1.44	1.36	5.6	4.6	0.0	11.1	17.2	0.30	0.17	0.00	0.20	0.18
Pittsburgh	5.56	6.06	-0.62	-0.49	0.20	-1.73	-0.57	0.7	0.6	0.1	16.2	3.0	0.06	0.04	0.01	0.50	0.05
St Louis	5.56	4.42	-0.47	-0.03	1.15	-0.58	-0.94	0.4	0.0	4.2	1.8	8.2	0.05	0.00	0.30	0.08	0.20
Cleveland	5.56	11.05	1.71	-1.02	-0.96	-1.92	1.07	5.2	2.7	2.9	19.9	10.6	0.27	0.09	0.08	0.34	0.10
Baltimore	5.56	5.83	0.16	1.53	1.31	-0.14	0.15	0.0	6.2	5.5	0.1	0.2	0.00	0.40	0.29	0.00	0.00
Houston	5.56	8.21	-1.65	-0.26	1.90	0.04	1.30	4.8	0.2	11.6	0.0	15.6	0.33	0.01	0.44	0.00	0.20
Minneapolis	5.56	8.67	-0.38	-1.93	-0.74	1.79	-0.57	0.3	9.7	1.8	17.3	3.0	0.02	0.43	0.06	0.37	0.04
Dallas	5.56	15.14	-1.78	-1.34	2.73	1.48	0.10	5.6	4.7	23.7	11.7	0.1	0.21	0.12	0.49	0.14	0.00
Cincinnati	5.56	5.58	0.23	-1.38	0.15	-0.36	0.95	0.1	5.0	0.1	0.7	8.4	0.01	0.34	0.00	0.02	0.16
Milwaukee	5.56	7.41	0.58	-1.98	-1.35	0.80	-0.67	0.6	10.3	5.8	3.4	4.1	0.05	0.53	0.25	0.09	0.06
Buffalo	5.56	7.37	0.13	-1.89	0.10	-1.05	-0.40	0.0	9.4	0.0	5.9	1.5	0.00	0.49	0.00	0.15	0.02

Interprétation :

- La colonne P. REL indique le poids donné à chaque individu (ville US) qui est dans ce cas uniforme (5,56 = 100 / 18).

- La colonne DISTO donne la distance au carré de chaque de chaque individu (ville US) au centre de gravité du nuage. Cela permet de trouver les individus les plus :

- moyens => les plus proches du centre de gravité (St. Louis et Detroit) ;

- originaux => les plus loin du centre de gravité (LA et SF).

C'est un critère d'originalité !

- La colonne COORDONNÉES donne la projection des individus (ville US) sur les 5 premiers axes factoriels.

- La colonne CONTRIBUTIONS (en %) donne la contribution des individus (ville US) à l'inertie portée sur les 5 premiers axes factoriels.

- sert à détecter les individus (ville US) qui contribuent le plus à la formation des axes ;

- Quand la valeur d'une contribution est-elle élevée ?

(quand elle est supérieure à la contribution moyenne)

- si toutes les villes avaient la même contribution, elle tournerait autour de 6% (5,6 = 100 / 18) ;

- sur le 1^er axe SF (29,3) et LA (19,5) ont une contribution supérieure à la moyenne ;

- sur le 2^e axe NY (17,5) a une contribution supérieure à la moyenne ;

Les individus (ville US) sont représentés sur la figure 4 proportionnellement à leur contribution.

La somme des contributions est égale à 100.

- La colonne COSINUS CARRES permet d'apprécier la qualité du positionnement des individus (ville US) sur les 5 premiers axes factoriels.

- l'addition des Cos², par plan factoriel, sert à détecter les individus (ville US) qui sont les mieux représentés sur ce sous-espace défini par ces 2 axes ;

- Quand la valeur d'un Cos² est-elle élevée ?

Là non plus, la réponse n'est pas automatique,

Pour déterminer les individus (ville US) bien représentés, il faut comparer les sommes des Cos² plan par plan.

- sur le 1^er plan, axe 1 et 2, NY est mieux représenté que Pittsburgh

NY => 0,8 = 0,35 + 0,45

Pittsburgh => 0,10 = 0,04 + 0,06

- Pittsburgh est mieux représenté sur l'axe 4.

Les individus (ville US) sont représentés sur la figure 5 proportionnellement à leur qualité.

La somme du Cos² atteint 1 dans le meilleur des cas.

 

2.2.4.2. Par l'analyse graphique des Contributions (CTR)

- Modification des Couleurs et symboles

- Double clic sur le graphique

- Présélections pour un nouveau graphique : individus actifs

Valider par OK

- Menu Sélection + De tous les points

- Menu Habillage + Ecrire les libellés

- Menu Habillage + Couleurs et symboles

Symboles = cercle

Couleur = rose

Taille proportionnelle = contributions

Valider par OK

- Paramétrage de la proportionnalité

- Menu Dessin + Paramétrer la proportionnalité

Taille minimale des symboles en pixels = 1

Taille maximale des symboles en pixels = 16

Ce paramétrage permet d'accentuer la différence entre individus caractérisés par les axes

fig. 4 - Contribution des villes (individus) sur le 1^er plan factoriel

2.2.4.3. Par l'analyse graphique des qualité (Cos²)

- Modification des Couleurs et symboles

- Double clic sur le graphique

- Présélections pour un nouveau graphique : individus actifs

Valider par OK

- Menu Sélection + De tous les points

- Menu Habillage + Ecrire les libellés

- Menu Habillage + Couleurs et symboles

Symboles = cercle

Couleur = rose

Taille proportionnelle = cos²

Valider par OK

- Paramétrage de la proportionnalité

- Menu Dessin + Paramétrer la proportionnalité

Taille minimale des symboles en pixels = 1

Taille maximale des symboles en pixels = 16

Ce paramétrage permet d'accentuer la différence entre individus caractérisés par les axes

- Filtrage statistique de la sélection

L'objectif est de restreindre la sélection aux points réellement significatifs

Pour nous : la qualité (cos²)

- Menu Sélection + De tous les points

- Menu Sélection + Filtrage statistique de la sélection

Premier axe = axe 1

Deuxième axe = axe 2

Sélection du bouton cos²

Seuil en pourcentage de la valeur maximale = 50%

(correspond à 45°)

Ne seront représentées que les villes qui ont un cos² qui atteint ou dépasse 50 p.100 sur un des axes (pas forcément celui du plan factoriel représenté).

Cliquer sur Calculer

indique 7 points sélectionnés

Valider par OK

- Mise en évidence des points réellement retenus

- Menu Sélection + Inversion de la sélection

- Menu Habillage + Mettre en fantôme

- Menu Dessin + Rafraîchir

fig. 5 - Qualité (Cos²) des villes (individus) 1^er plan factoriel

Ne sont donc représentées que les villes qui ont un cos² qui atteint ou dépasse 50 p.100 sur un des axes (pas forcément celui du plan factoriel représenté).

On ne peut interpréter avec sécurité les proximités entre les villes que si elles sont bien représentées sur le plan factoriel.

C'est le cas, une fois les "fantômes" masqués.

- Ajouter du texte

Pour mettre un titre au graphique ou des titres aux secteurs du plan factoriel

- Menu Dessin + Insérer un texte

Cliquer avec la souris à l'endroit où vous souhaitez insérer le texte

- Saisir le titre du graphique dans la fenêtre d'Édition de texte

Valider par OK

Il est possible de déplacer ou de modifier le texte

- Que faire si vous êtes "sec" pour décrire les plans factoriels (les axes par les variables) ?

Allez lire les résultats de la procédure DEFAC

Vous y trouverez les deux variables qui "comptent", axe par axe

- Changer les axes

Pour permettre l'analyse visuelles des autres composantes

- Menu Graphique + Changer les axes

- Choisir pour l'axe horizontal : axe 3

- Choisir pour l'axe vertical : axe 4

Le taux d'inertie sous chaque axe s'affiche

Valider par OK

Ce sont les textes du précédent plan factoriel qui s'affichent :

- Faut-il les modifier ?

N'oubliez pas, à l'issue de chaque analyse, de copier-coller dans votre traitement de textes les documents réalisés. Ils vous permettront d'étayer votre développement, même en l'absence du logiciel.

- Ne faudrait-il pas tester la même analyse en mettant Los Angeles et San Francisco en individus illustratifs ?

Refaire tourner une ACP en ce sens, à l'aide d'une nouvelle filière, et comparer !

 

N'oubliez pas de revenir aux données brutes pour l'analyse et le commentaire.

2.3. Cartographie des axes factoriels

 - Quelles discrétisations (variables visuelles) ont été retenues dans les exemples suivants ?

- figurés proportionnels ?

- montées en valeurs ?

- pourquoi ?

fig. 8 - Une possibilité de légende pour la cartographie d'un axe factoriel (avec analyse)

sources : SANDERS 1989, p. 76

fig. 9 - Une possibilité de légende pour la cartographie de deux axes factoriels (avec analyse)

sources : SANDERS 1989, p. 77

fig. 10 - Autre possibilité de légende pour la cartographie d'un axe factoriel (sans analyse)

sources : WANIEZ sd, p. 180

fig. 11 - Autre possibilité de légende pour la cartographie d'un axe factoriel (sans analyse)

sources : WANIEZ sd, p. 181

3. Analyse d'un 2^e exemple

Exemple n°2 : Tableau 2.2 - Notations au 1er semestre 2008-09

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Ce fichier est au format EXCEL 2003 et "pèse" 97 Ko.

Le choix de ces données repose, non sur l'intérêt intrinsèque qu'elles représentent, mais sur la complexité de leur distribution statistique (valeurs exceptionnelles, distribution non symétrique, etc.), ainsi que par la gestion des données manquantes qu'elles entraînent et la présence de données nominales et continues illustratives.

L'objectif de cet exemple est de :

- comparer une analyse par ACP et par AFC d'un même tableau

- voir comment combiner une variable nominale illustrative et des continues actives et illustratives.

 

4. Analyse d'un n^e exemple

Exemple n°3 : AMAT (J.-P.), GODARD (V.), HOTYAT (M.) - 2003 - Milieu, gestion, histoire et scénarios de reconstitution dans les sylvosystèmes touchés par les tempêtes de décembre 1999, GIP-ECOFOR, Min. agriculture, 115 p.

Analyse des dégâts tempétueux en Forêt de Fontainebleau

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Téléchargement de la carte des limites et points d'enquête

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Téléchargement du rapport

Ce fichier est au format .pdf et "pèse" 4,5 Mo !!.

 

Exemple n°4 : Tableau 4.1 - La structure pastorale éthiopienne par awrajas (en nombre de têtes), [Sources : EASTMAN (J.R.) - 1997 - 10. Database Workshop. in : IDRISI for Windows. Tutorial Exercises. Version 2.0. Worcester (MA, USA), Clark University, pp. 69-79 et traduction française GODARD, 2003]

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Ce fichier est au format Excel (.xls) et "pèse" 51 Ko.

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Ce fichier est au format Excel (.xls) et "pèse" 40 Ko.

Pour la cartographie de l'analyse :

- sous ArcGis, récupérer le fichier de formes (shp) et sa base de données dans le dfm04ta1_ag.rar.

Ce fichier est compressé (.rar) et "pèse" 68 Ko.

 Ce tableau est le support d'un exercice détaillé sur la fiche guide 1.8 du cours de SIG.

 

Exemple n°5 : Évaluation de la vulnérabilité socio-économique par rapport aux tempêtes extrêmes et aux inondations qui les accompagnent (Revere, Massachusetts, USA)

Ce tableau est le support d'un exercice détaillé sur la fiche guide 6.2 du cours de Master 2 recherche.

Téléchargement du fichier brut

Ce fichier est au format Excel (.xls) et "pèse" 46 Ko.

Téléchargement du fichier résultats

Ce fichier est au format Excel (.xls) et "pèse" 46 Ko.

Pour la cartographie de l'analyse :

- sous ArcGis, récupérer le fichier de formes (shp) et sa base de données dans le revere.rar.

- sous Idrisi, s'inspirer du TD de télédétection "mtd42tel.htm" et particulièrement du passage qui traite de cartographie (à la section 5.5 Cartographie des UEA ) et de l'enregistrement en DBASE ".dbf" qui rend le fichier EXCEL directement importable dans Idrisi.

fig. 6 - Les hispaniques dans les "blocs" de recensement à Revere (Mas., USA)

fig. 7 - Les pauvres dans les "blocs" de recensement à Revere (Mas., USA)

Exemple n°6 : Les élections législatives et présidentielles de 2012 par département

Accéder aux données d'un certain nombre d'élections (data.gouv.fr)

Accéder au fichier brut des élections législatives

Accéder au fichier élaboré des élections législatives

Pour décrypter les sigles des différents partis : Wikipédia

Accéder au fichier élaboré des élections présidentielles

Téléchargement du fichier de données (dfm01ta6c.csv)

            Ce fichier est au format CSV et "pèse" 11 Ko.

                Téléchargement du script ACP_elecpres_v3d.R

Le fond cartographique des limites administratives en 96 départements est accessible ici : http://julienas.ipt.univ-paris8.fr/vgodard/pub/enseigne/carto2/claroline/tdfm32/depart_90_96.rar

Exemple n°7 : Quelques équipements de santé en 2012 par département

Les données portent sur : les établissement qui accueillent des urgences (urg) ; les maternités (mat) ; les pharmacies (pha) ; et les laboratoires d'analyse (lab) pour 100 000 habitants.

Téléchargement du fichier

Exemple n°8 : Le second tours des élections municipales de 2014 à Fontenay-sous-Bois

Accéder aux données

Données Cartelec

Données électorales Merci à Amale ERRAMI pour la collecte et la mise en forme

Exemple n°9 : La propriété forestière en France

Accéder aux données

Téléchargement du fichier

(cf. détails sur la plateforme Moodle à la rubrique La propriété forestière française en 2007)

Pour comprendre les transformations effectuées sur les distributions de cet exemple, une relecture de ce passage du cours de carto niveau 2 sur les Transformations de variables sera un plus !

Pour visualiser la forme des distributions après transformations, téléchargement :

du script graph_asymetrie.R ;

des données transformées de la forêt domaniale et des collectivités transfo2_PropFor19_v2.csv

Le fond cartographique des limites administratives en 90 ou 96 départements [l'Île-de-France, pour les données forestières, a été regroupée en ÎdF ouest, 75+78+91+92+93+94+95). La Seine-et-Marne est restée indépendante] est accessible ici : http://julienas.ipt.univ-paris8.fr/vgodard/pub/enseigne/carto2/claroline/tdfm32/depart_90_96.rar

Téléchargement du script ACP_propforlog.R

Affichage du résumé de ce script généré en R Markdown : ACP_propforlog_v3.Rmd (en html)

Affichage de l'aide à l'analyse Investigate(res.propfor.pca) inclus dans le R Markdown ci-dessus.

Récapitulatif :

- Quelques soient les mises en formes retenues, ils faut passer par les trois étapes suivantes :

- Déterminer le nombre d'axes factoriels qui comptent

- Caractériser les axes avec les variables

- Caractériser les individus avec les axes

- Pour constituer la typologie, n'oubliez pas d'asseoir votre commentaire sur les données du tableau d'origine (c'est plus parlant que les données centrées réduites !)

Assurez-vous que :

- chaque groupe d'individus (voire chaque individu) est qualifié ;

- toutes les variables ont été vues (elles ne sont pas toutes forcément qualifiantes).

- Vous n'aurez jamais un résultat unique à l'issue d'une ACP car, il dépend :

- des variables et individus que vous avez retenus ;

- de votre interprétation des plans factoriels.

 

4. Test de compréhension

NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.